常见微积分与泰勒展开 – 哈冬猪的小站 – 个人学习记录

常见微积分与泰勒展开

2024-2-28 21:21

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参考

泰勒展开

函数	泰勒展开		收敛域
$\ln (1 + x)$	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} x^{n}$	$x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} x^{n} + \dots$	$(- 1, 1]$
$\ln (1 - x)$	$\sum_{n = 1}^{\infty} - \frac{x^{n}}{n}$	$- x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots - \frac{x^{n}}{n} - \dots$	$[- 1, 1)$
$\frac{1}{1 + x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n}$	$1 - x + x^{2} - \dots + {(- 1)}^{n} x^{n} + \dots$	$(- 1, 1)$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$	$1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots$	$(- 1, 1)$
$e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}$	$1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} x^{n} + \dots$	$(- \infty, + \infty)$
${(1 + x)}^{α}$	$1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n}$	$1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots$	$(- 1, 1)$
$\sin x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1}$	$x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \dots + \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} + \dots$	$(- \infty, + \infty)$
$\cos x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n}$	$1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \dots + \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} + \dots$	$(- \infty, + \infty)$
$\tan x$	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2 n} {(- 4)}^{n} (1 - 4^{n})}{(2 n)!} x^{2 n - 1}$	$x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{15} x^{5} + \dots$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
$\sec x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n} E_{2 n} x^{2 n}}{(2 n)!}$	$1 + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{24} x^{4} + \dots$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$
$\arcsin x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{4^{n} {(n!)}^{2} (2 n + 1)} x^{2 n + 1}$	$x + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{3}{40} x^{5} + \dots$	$[- 1, 1]$
$\arctan x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}$	$x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + \dots$	$[- 1, 1]$

等价无穷小

$\sin x \sim x$	$\tan x \sim x$	$\arctan x \sim x$	$1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$
$a^{x} - 1 \sim x \ln a$	$\ln (1 + x) \sim x$	$\sqrt[n]{1 + x} - 1 \sim \frac{x}{n}$	${(1 + x)}^{a} - 1 \sim a x$

微积分

$\frac{d f (x)}{d x}$	$f (x)$	$\int f (x) d x$
$\cos x$	$\sin x$	$- \cos x + C$
$- \sin x$	$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec x \cdot \tan x$	$\sec x$	$\ln \| \sec x + \tan x \| + C$
$- \csc x \cdot \cot x$	$\csc x$	$\ln \| \csc x - \cot x \| + C$
$\sec^{2} x$	$\tan x$	$- \ln \| \cos x \| + C$
$- \csc^{2} x$	$\cot x$	$\ln \| \sin x \| + C$
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\arcsin x$
$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\arccos x$
$\frac{1}{1 + x^{2}}$	$\arctan x$
$- \frac{1}{1 + x^{2}}$	$arccot x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\ln a \cdot a^{x}$	$a^{x}$
$\frac{1}{x}$	$\ln x$
$\frac{1}{x \ln a}$	$\log_{a} x$
$0$	$μ$
$μ x^{μ - 1}$	$x^{μ}$
	$\frac{1}{x^{2} + a^{2}}$	$\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$
	$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$	$\frac{1}{2 a} \ln \| \frac{x - a}{x + a} \| + C$
	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$	$\ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C$
	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$	$\ln \| x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} \| + C$
	$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$	$\arcsin \frac{x}{a} + C$
	$\frac{1}{x}$	$- \ln \| x \| + C$

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