常见坐标系与元

	直角坐标系	柱坐标系	球坐标系	极坐标
与直角坐标系的关系		$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ z=z\end{array}$	$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}$	$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$
面积元	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$			$\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$
体积元	$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$	$\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$	$r^{2}sin\phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

对坐标/弧长积分关系

$$\mathrm{d}s=\frac{\mathrm{d}x}{\cos \alpha }=\frac{\mathrm{d}y}{\cos \beta }=\frac{\mathrm{d}z}{\cos \gamma }$$

对坐标/面积积分关系

$$\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\cos \alpha }=\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}z}{\cos \beta }=\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos \gamma }$$

格林公式

$${\iint }_D\left(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$$

高斯公式

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\left(\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }z}\right)\mathrm{d}v=∯P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

斯托克斯公式

$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=∯\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

方向导数（数）

定义：

$\underset{\rho \to 0}{lim} \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y,z_0+\mathrm{\Delta }z)-f(x_0,y_0,z_0)}{\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2+(\mathrm{\Delta }z{)}^2}}$ 为 $u=f(x,y,z)$ 在 $f(x_0,y_0,z_0)$ 处沿射线 $l$ 的方向导数

其中 $f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y,z_0+\mathrm{\Delta }z)$ 在射线 $l$ 上，记为 $\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }l}{|}_{M_0}=\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x}|\cos \alpha +\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }u}|\cos \beta +\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}|\cos \gamma$ 其中 $\cos \alpha$ 、 $\cos \beta$ 、 $\cos \gamma$ 为 $l$ 的方向余弦

梯度（向量函数）

定义：

设 $u=f(x,y,z)$ 连续可偏导，梯度 $gradu=\left\{\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }x},\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }y},\frac{\mathrm{\partial }u}{\mathrm{\partial }z}\right\}$

旋度（向量函数）

$\overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$ ，则向量 $\overrightarrow{A}$ 的旋度为 $rot\overrightarrow{A}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\left\{\left|\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}\\ Q& R\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }z}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}\\ R& P\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}& \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}\\ P& Q\end{array}\right|\right\}$

散度（函数）

$\overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$ ，则向量 $\overrightarrow{A}$ 的散度为 $div\overrightarrow{A}=\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }R}{\mathrm{\partial }z}$

微分

曲率

$$K=\frac{|y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}|}{(1+y^{\mathrm{\prime }2}{)}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率圆

$$R=\frac{1}{K}$$ $$x_0=a-f^{\mathrm{\prime }}(a)\frac{1+f^{\mathrm{\prime }2}(a)}{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)},y_0=b+\frac{1+f^{\mathrm{\prime }2}(a)}{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}$$

空间解析几何

平面的表示方法

一般式

$$Ax+By+Cz+D=0$$

点法式

$(A,B,C)$ 为此平面的法向量：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

截距式

此平面在 $x,y,z$ 轴的截距分别为 $a,b,c$ ：

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

平面束

过直线 $L:\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$ 的所有平面：

$$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$$

距离

点到平面的距离

点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离：

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

平面到平面的距离

平面1： $Ax+By+Cz+D_1=0$ 到平面2： $Ax+By+Cz+D_2=0$ 的距离：

$$d=\frac{|D_2-D_1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

点到直线的距离

点 $\text{M}$ 到直线的距离，且直线上一点 $M_0$ 直线切向量 $\overrightarrow{s}$：

$$d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{0}M}\times \overrightarrow{s}\right|}{\left|\overrightarrow{s}\right|}$$

曲线切/法向量

曲线$(x_0,y_0,z_0)$处的切向量：

$$\overrightarrow{n}=\{\begin{array}{c}{F}_x^{\mathrm{\prime }}(x_0,y_0,z_0),F_y^{\mathrm{\prime }}(x_0,y_0,z_0),F_z^{\mathrm{\prime }}(x_0,y_0,z_0)\end{array}\}$$

曲面$(x_0,y_0,z_0)$处的法向量：

参数式：

$$\overrightarrow{T}=\{{\phi }^{\mathrm{\prime }}(t_0),{\psi }^{\mathrm{\prime }}(t_0),{\omega }^{\mathrm{\prime }}(t_0)\}t=t_0\text{对应的点为}(x_0,y_0,z_0)$$

一般式：

$$\overrightarrow{T}={\{\left|\begin{array}{cc}{F}_y^{\mathrm{\prime }}& F_z^{\mathrm{\prime }}\\ G_y^{\mathrm{\prime }}& G_z^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{F}_z^{\mathrm{\prime }}& F_x^{\mathrm{\prime }}\\ G_z^{\mathrm{\prime }}& G_x^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{F}_x^{\mathrm{\prime }}& F_y^{\mathrm{\prime }}\\ G_x^{\mathrm{\prime }}& G_y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right|\}|}_{M_0}(x_0,y_0,z_0)\in L:(\genfrac{}{}{0ex}{}{F(x,y,z)=0}{G(x,y,z)=0})$$

定积分

不同坐标系下体积/面积/弧长的定积分

极坐标系下面积

$$A=\frac{1}{2}{\int }_a^{\beta } r^2(\theta )\mathrm{d}\theta$$

直角坐标系下旋转体曲面表面积（绕𝑥轴）

$$A=2\pi {\int }_a^b |f(x)|\sqrt{1+f^{\mathrm{\prime }2}(x)}\mathrm{d}x$$

直角坐标系下旋转体曲面表面积旋转体体积（绕𝑦轴）

$$V_y=2\pi {\int }_a^b |x||f(x)|\mathrm{d}x$$

直角坐标系下弧长

$$s={\int }_a^b \sqrt{1+f^{\mathrm{\prime }2}(x)}\mathrm{d}x$$

参数方程 $L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}(\alpha ⩽t⩽\beta )$下弧长

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta } \sqrt{{\phi }^{\mathrm{\prime }2}(t)+{\psi }^{\mathrm{\prime }2}(t)}\mathrm{d}t$$

极坐标系下弧长

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta } \sqrt{r^2(\theta )+r^{\mathrm{\prime }2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$$

三角函数的定积分结论

$${\int }_0^{\pi } xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi } f(\sin x)\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}} f(\sin x)\mathrm{d}x$$ $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}} f(\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}} f(\cos x)\mathrm{d}x$$ $${\int }_0^{\frac{x}{2}} {\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos }^{n}x\mathrm{d}x=I_n(I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},I_1=1,I_0=\frac{\pi }{2})$$

微分方程

可分离变量的微分方程	$$y^{\mathrm{\prime }}=f(x,y)\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}={\phi }_1(x){\phi }_2(y)$$	$$\frac{\mathrm{d}y}{{\phi }_2(y)}={\phi }_1(x)\mathrm{d}x\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}y}{{\phi }_2(y)}=\int {\phi }_1(x)\mathrm{d}x+C$$
齐次微分方程	$$y^{\mathrm{\prime }}=f(x,y)\Rightarrow y^{\mathrm{\prime }}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$$	$$\text{设}\frac{y}{x}=u\Rightarrow u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\phi (u)\int \frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}+C$$
一阶齐次线性微分方程	$$y^{\mathrm{\prime }}+P(x)y=0$$	$$y=C{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$
一阶非齐次线性微分方程	$$y^{\mathrm{\prime }}+P(x)y=Q(x)$$	$$y=\left[\begin{array}{c}\int Q(x){\mathrm{e}}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\end{array}\right]{\mathrm{e}}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$
伯努利方程	$$y^{\mathrm{\prime }}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$	$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\stackrel{y^{1-n}=z}{\Rightarrow }\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$
全微分方程	$$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0且\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}=\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}$$	$$\text{令}u(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,\text{则}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\mathrm{d}u原方程的通解为u(x,y)=C$$
可降阶的高阶微分方程	$$f(x,y^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=0$$	$$\text{令}{y}^{\mathrm{\prime }}=p,y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x},f(x,y^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=0\text{ 化为}f\left(x,p,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\right)=0$$
可降阶的高阶微分方程	$$f(y,y^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=0$$	$$\text{令}{y}^{\mathrm{\prime }}=p,y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cdot \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y},f(y,y^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=0\text{化为}f\left(y,p,p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\right)=0$$
欧拉方程	$$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\mathrm{\prime }}+p_{n}y=f(x)$$	$$\text{作变换}x={\mathrm{e}}^t\text{有}{x}^k{y}^{(k)}=\mathrm{D}(\mathrm{D}-1)\cdots (\mathrm{D}-k+1)y\text{其中}\left(D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)$$

线性微分方程

$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\mathrm{\prime }}+a_n(x)y=f(x)$$

		特征值	解
通解	二阶	${\lambda }_1,{\lambda }_2\text{为实单根}$	$y=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}$
		${\lambda }_1={\lambda }_2\text{为实根}$	$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$
		${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \mathrm{i}\beta$	$y={\mathrm{e}}^{ax}(C_1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x+C_2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x)$
	三阶	${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\text{为实单根}$	$y=C_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}x}+C_3{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{3}x}$
		$\mathrm{i}{\lambda }_1={\lambda }_2\ne {\lambda }_3\text{为实根}$	$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}+C_3{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{3}x}$
		${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3\text{为实根}$	$y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2){\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}x}$
		${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \mathrm{i}\beta ,{\lambda }_3\in \mathbb{R}$	$y={\mathrm{e}}^{\alpha x}(C_1\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x+C_2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x)+C_3{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{3}x}$
特解	$f(x)={\mathrm{e}}^{kx}{P}_n(x),\text{其中}{P}_n(x)\text{为}n\text{次多项式}$	$k\ne {\lambda }_1\text{且}k\ne {\lambda }_2$	$y_0(x)=Q(x){\mathrm{e}}^{kx}$
		$k={\lambda }_1\text{但}k\ne {\lambda }_2$	$y_0(x){\mathrm{e}}^{kx}=xQ(x){\mathrm{e}}^{kx}$
		$k={\lambda }_1={\lambda }_2$	$y_0(x)=x^{2}Q(x){\mathrm{e}}^{kx}$
	$f(x)={\mathrm{e}}^{ax}[P_m(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x+P_s(x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x],n=max\{m;s\}$	$\alpha +\mathrm{i}\beta \text{不是特征值}$	$y_0={\mathrm{e}}^{\alpha x}\left[Q_n^{(1)}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x\right]$
		$\alpha +\mathrm{i}\beta \text{是特征值}$	$y_0=x{\mathrm{e}}^{ax}\left[Q_n^{(1)}(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta x+Q_n^{(2)}(x)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta x\right]$

级数

三角函数的正交性

$${\int }_{-\pi }^{\pi } cosmxcosnx\mathrm{d}x=\{\begin{array}{l}2\pi ,\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}m=n=0,\\ \pi ,\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}m=n⩾1,\\ 0,\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}m\ne n.\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\end{array}$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi } sinmxsinnx\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}\pi ,& m=n,\\ 0,& m\ne n.\end{array}$$

傅里叶级数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }} (a_{n}cosn{\omega }_{0}x+b_{n}sinn{\omega }_{0}x)$$

其中

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_T f(x)cosn{\omega }_{0}x\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots )$$ $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_T f(x)sinn{\omega }_{0}x\mathrm{d}x(n=1,2,\cdots )$$

附录

基本不等式

即调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值：

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

因式分解

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots \cdots +b^{n-1})$$

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