（复）频域变换 – 哈冬猪的小站 – 个人学习记录

（复）频域变换

2024-3-04 15:14

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参考

（复）频域变换定义

	正变换	逆变换
傅里叶级数	$a_{k} = \frac{1}{T} \int_{T} f (t) e^{- j k ω_{0} t} d t$	$f (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k ω_{0} t}$
傅里叶级数的帕斯瓦关系	$\frac{1}{T} \int_{T} {\| f (t) \|}^{2} d t = \sum_{k = - \infty}^{\infty} {\| a_{k} \|}^{2}$
傅里叶变换	$F (ω) = \int_{- x}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t$	$f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{j ω t} d ω$
傅里叶变换的帕斯瓦关系	$\int_{- \infty}^{\infty} {\| f (t) \|}^{2} d t = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {\| F (ω) \|}^{2} d ω$
离散傅里叶级数	$a_{k} = \frac{1}{N} \sum_{n =< N >} f [n] e^{- j k Ω_{0} n}$	$f [n] = \sum_{k =< N >} a_{k} e^{j k Ω_{0} n}$
离散傅里叶级数的帕斯瓦关系	$\frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\| f [n] \|}^{2} = \sum_{k = 0}^{N - 1} {\| a_{k} \|}^{2}$
离散时间的傅里叶变换	$F (Ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f [n] e^{- j Ω n}$	$f [n] = \frac{1}{2 π} \int_{2 π} F (Ω) e^{j Ω n} d Ω$
离散时间的傅里叶变换的帕斯瓦关系	$\sum_{n = - \infty}^{\infty} {\| f [n] \|}^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {\| F (e^{j Ω}) \|}^{2} d Ω$

（复）频域变换性质

性质	傅里叶变换		拉普拉斯变换		z变换
性质	时域	频域	时域	复频域	时域	复频域
线性	$a_{1} f_{1} (t) + a_{2} f_{2} (t)$	$a_{1} F_{1} (ω) + a_{2} F_{2} (ω)$	$a_{1} f_{1} (t) + a_{2} f_{2} (t)$	$a_{1} F_{1} (s) + a_{2} F_{2} (s)$	$a_{1} f_{1} [n] + a_{2} f_{2} [n]$	$a_{1} F_{1} (z) + a_{2} F_{2} (z)$
尺度变换	$f (a t)$	$\frac{1}{\| a \|} F (\frac{ω}{a})$	$f (a t)$	$\frac{1}{\| a \|} F (\frac{s}{a})$	$f [- n]$	$F (\frac{1}{z})$
尺度变换	$F (t) \leftrightarrow 2 π f (- ω)$		$f (a t)$	$\frac{1}{\| a \|} F (\frac{s}{a})$	$f_{1} [n] = {\begin{cases} f [\frac{n}{N}] & , & n = k N \\ 0 & , & n \neq k N \end{cases}$	$F (z^{N})$
共轭对称性	$f^{*} (t)$	$F^{*} (- ω)$
	$f (t) 是实函数$	$F (- ω) = F^{*} (ω)$ $R e {F (- ω)} = R e {F (ω)}$ $I m {F (- ω)} = - I m {F (ω)}$	$f (t) 是实函数$	$F (s) = F^{} (s^{})$	$f [z]$	$F (z) = F^{} (z^{})$
	$f_{e} (t) = \frac{1}{2} [f (t) + f (- t)]$ $f (t) 是实函数$	$R e {F (ω)}$
	$f_{o} (t) = \frac{1}{2} [f (t) - f (- t)]$ $f (t) \ 是实函数$	$j I m {F (ω)}$
	$f (t) 是实偶函数$	$F (ω) 是实偶函数$
	$f (t) 是实奇函数$	$F (ω) 是虚奇函数$
时移	$f (t - t_{0})$	$e^{- j ω t_{0}} F (ω)$	$f (t - t_{0})$	$e^{- s t_{0}} F (s)$	$f [n - n_{0}]$	$z^{- n_{0}} F (z)$
（复）频移	$e^{j ω_{0} t} f (t)$	$F (ω - ω_{0})$	$e^{s_{0} t} f (t)$	$F (s - s_{0})$	$z_{0}^{n} f [n]$	$F (\frac{z}{z_{0}})$
时域微分(差分)	$\frac{d f (t)}{d t}$	$j ω F (ω)$	$\frac{d f (t)}{d t}$	$s F (s)$	$f [n] - f [n - 1]$	$(1 - z^{- 1}) F (z)$
单边时域微分(差分)			$f^{(n)} (t)$	$s^{n} F_{u} (s) - s^{n - 1} f (0^{-}) - s^{n - 2} f^{'} (0^{-}) - \dots - f^{(n - 1)} (0^{-})$	$f [n - n_{0}]$	$z^{- n_{0}} F_{u} (z) + f [- n_{0}] + z^{- 1} f [- n_{0} + 1] + \dots + z^{- n_{0} + 1} f [- 1]$
单边时域微分(差分)			$f^{(n)} (t)$		$f [n + n_{0}]$	$z^{n_{0}} F_{u} (z) - z^{n_{0}} f [0] - z^{n_{0} - 1} f [1] - \dots - z f [n_{0} - 1]$
时域积分(累加)	$\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ$	$\frac{F (ω)}{j ω} + π F (0) δ (ω)$	$\int_{- \infty}^{t} f (τ) d τ$	$\frac{1}{s} F (s)$	$\sum_{m = - \infty}^{n} f [m]$	$\frac{1}{1 - z^{- 1}} F (z)$
（复）频域微分	$\frac{1}{1 - z^{- 1}} F (z)$	$\frac{d F (ω)}{d ω}$	$- t f (t)$	$\frac{d F (s)}{d s}$	$n f [n]$	$- z \frac{d F (z)}{d z}$
（复）频域积分	$\frac{- f (t)}{j t} + π f (0) δ (t)$	$\int_{- \infty}^{ω} F (θ) d θ$	$\frac{f (t)}{t}$	$\int_{s}^{\infty} F (s) d s$
时域卷积	${f (t)}^{*} h (t)$	$F (ω) H (ω)$	${f (t)}^{*} h (t)$	$F (s) H (s)$	${f [n]}^{*} h [n]$	$F (z) H (z)$
频域卷积	$f (t) h (t)$	$\frac{1}{2 π} {F (ω)}^{*} H (ω)$
初值			$lim_{t \to 0^{+}} f (t) = lim_{s \to \infty} s F (s)$		$f [n_{0}] = lim_{z \to \infty} [z^{n_{0}} F (z)]$
终值			$lim_{t \to \infty} f (t) = lim_{s \to 0} s F (s)$		$f [\infty] = lim_{z \to 1} [(1 - z^{- 1}) F (z)]$

常见函数的（复）频域变换

连续时间信号	傅里叶变换	连续时间信号	拉普拉斯变换	离散时间信号	z变换
$δ (t)$	$1$	$δ (t)$	$1$	$δ [n]$	$1$
$δ (t - t_{0})$	$e^{- j ω t}$	$δ (t - t_{0})$	$e^{- s t}$	$δ [n - n_{0}]$	$z^{- n_{0}}$
$δ^{(n)} (t)$	${(j ω)}^{n}$	$δ^{(n)} (t)$	$s^{n}$
$1$	$2 π δ (ω)$
$u (t)$	$\frac{1}{j ω} + π δ (ω)$	$u (t) / - u (- t)$	$\frac{1}{s}$	$u [n] / - u [- n - 1]$	$\frac{1}{1 - z^{- 1}}$
$e^{- a t} u (t), R e {a} > 0$	$\frac{1}{j ω + a}$	$e^{- a t} u (t) / - e^{- a t} u (- t)$	$\frac{1}{s + a}$	$a^{n} u [n] / - a^{n} u [- n - 1]$	$\frac{1}{1 - a z^{- 1}}$
$t e^{- a t} u (t), R e {a} > 0$	$\frac{1}{{(j ω + a)}^{2}}$	$t e^{- a t} u (t) / - t e^{- a t} u (- t)$	$\frac{1}{{(s + a)}^{2}}$	$n a^{n} u [n] / - n a^{n} u [- n - 1]$	$\frac{a z^{- 1}}{{(1 - a z^{- 1})}^{2}}$
$\frac{1}{n!} t^{n} e^{- a t} u (t), R e {a} > 0$	$\frac{1}{{(j ω + a)}^{n + 1}}$	$\frac{1}{n!} t^{n} e^{- a t} u (t) / - \frac{1}{n!} t^{n} e^{- a t} u (- t)$	$\frac{1}{{(s + a)}^{n + 1}}$	$\frac{n (n - 1) \dots (n - k + 2)}{(k - 1)!} a^{n - k + 1} u [n]$	$\frac{z^{- k + 1}}{{(1 - a z^{- 1})}^{k}}$
		$\frac{1}{n!} t^{n} u (t) / - \frac{1}{n!} t^{n} u (- t)$	$\frac{1}{s^{n + 1}}$	$r_{0}^{n} e^{j Ω_{0} n} u [n]$	$r_{0}^{n} e^{j Ω_{0} n} u [n]$
		$u^{(- n)} (t) = \frac{1}{n!} t^{n} u (t)$	$\frac{1}{s^{n + 1}}$	$r_{0}^{n} e^{- j Ω_{0} n} u [n^{'}]$	$\frac{1}{1 - (r_{0} e^{- j Ω_{0}}) z^{- 1}}$
$\cos (ω_{0} t)$	$π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0})$	$\cos (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{s}{s^{2} + ω_{0}^{2}}$	$\cos (Ω_{0} n) u [n]$	$\frac{1 - \cos Ω_{0} z^{- 1}}{1 - 2 \cos Ω_{0} z^{- 1} + z^{- 2}}$
		$e^{- a t} \cos (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{s + a}{{(s + a)}^{2} + ω_{0}^{2}}$	$r_{0}^{n} \cos (Ω_{0} n) u [n]$	$\frac{1 - r_{0} \cos Ω_{0} z^{- 1}}{1 - 2 r_{0} \cos Ω_{0} z^{- 1} + r_{0}^{2} z^{- 2}}$
$\sin (ω_{0} t)$	$j π δ (ω + ω_{0}) - j π δ (ω - ω_{0})$	$\sin (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{ω_{0}}{s^{2} + ω_{0}^{2}}$	$\sin (Ω_{0} n) u [n]$	$\frac{\sin Ω_{0} z^{- 1}}{1 - 2 \cos Ω_{0} z^{- 1} + z^{- 2}}$
		$e^{- a t} \sin (ω_{0} t) u (t)$	$\frac{ω_{0}}{{(s + a)}^{2} + ω_{0}^{2}}$	$r_{0}^{n} \sin (Ω_{0} n) u [n]$	$\frac{r_{0} \sin Ω_{0} z^{- 1}}{1 - 2 r_{0} \cos Ω_{0} z^{- 1} + r_{0}^{2} z^{- 2}}$
$e^{- a \| t \|}, R e {a} > 0$	$\frac{2 a}{ω^{2} + a^{2}}$	$e^{- a \| t \|}$	$\frac{- 2 a}{s^{2} - a^{2}}$
$g_{τ} (t) = {\begin{cases} 1 & , & \| t \| < \frac{τ}{2} \\ 0 & , & \| t \| > \frac{τ}{2} \end{cases}$	$τ Sa (\frac{ω τ}{2}) = 2 \frac{\sin (ω τ / 2)}{ω}$
$sgn (t) = {\begin{cases} 1 & , & t > 0 \\ 0 & , & t < 0 \end{cases}$	$\frac{2}{j ω}$
$\frac{1}{π t}$	$- j sgn (ω)$
$e^{j ω_{0} t}$	$2 π δ (ω - ω_{0})$
$\sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} e^{j k ω_{0} t}, ω_{0} = \frac{2 π}{T}$	$2 π \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_{k} δ (ω - k ω_{0})$

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