常见随机变量分布

一维离散型随机变量分布

名称 表示 定义 均值 方差 意义
0-1分布 X B ( 1 , p ) P { X = 1 } = p P { X = 0 } = 1 p p p ( 1 p ) 一重伯努利实验成功次数
二项分布 X B ( n , p ) P { X = k } = C n k p k ( 1 p ) n k n p n p ( 1 p ) 𝑛重伯努利实验成功次数
泊松分布 X P ( λ ) P { X = k } = λ k k ! e λ ( λ > 0 ) λ λ 单位时间内随机事件发生的次数。
𝜆是单位时间内随机事件的平均发生率。
X P ( λ 1 ) , Y P ( λ 2 ) 且相互独立时
X + Y P ( λ 1 + λ 2 )
几何分布 X G ( p ) P { X = k } = p ( 1 p ) k 1 1 p 1 p p 2 无限重伯努利实验第一次成功时的次数
超几何分布 X H ( n , M , N ) P { X = m } = C M k C N M n k C N n ( 0 k n N , k M ) n M N n M N ( 1 M N ) N n N 1 从𝑁个对象中抽取𝑛个对象,抽出总数为𝑀种类的对象的个数

一维连续型随机变量分布

名称 表示 概率密度函数 分布函数 均值 方差 性质
均匀分布 X B ( 1 , p ) f ( x ) = { 1 b a , a < x < b 0 , 其他 F ( x ) = { 0 , x < a x a b a , a x < b E ( X ) = a + b 2 D ( X ) = ( b a ) 2 12
指数分布 X E ( λ ) f ( x ) = { λ e λ x , x > 0 0 , x 0 F ( x ) = { 1 e λ x , x 0 0 , x < 0 E ( X ) = 1 λ D ( X ) = 1 λ 2 无记忆性 P { X > a + b | X > b } = P { X > a }
正态分布 X N ( μ , σ 2 ) f ( x ) = 1 2 π σ exp ( ( x μ ) 2 2 σ 2 ) E ( X ) = μ D ( X ) = σ 2 a X + b N ( a μ + b , a 2 σ 2 )
X N ( 1 , 0 ) f ( x ) = 1 2 π e x 2 2 E ( X ) = 0 D ( X ) = 1 X μ σ N ( 0 , 1 )

二维连续型随机变量分布

名称 表示 概率密度函数
二维均匀分布 f ( x ) = { 1 A , ( x , y ) D 0 , ( x , y ) D
二维正态分布 X N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ X Y ) f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 ρ 2 exp { 1 2 ( 1 ρ 2 ) [ ( x μ 1 σ 1 ) 2 2 ρ ( x μ 1 ) ( y μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y μ 2 σ 2 ) 2 ] }
X N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y N ( μ 2 , σ 2 2 ) , a X + b Y + c 服从正态分布 ( X , Y ) 服从二维正态分布

抽样分布

名称 表示 条件 定义 均值 方差
χ 2 分布 X χ 2 ( n ) X 1 , X 2 , , X n N ( 0 , 1 ) 且相互独立 X = X 1 2 + X 2 2 + + X n 2 E ( X ) = n D ( X ) = 2 n
P { X > χ α 2 2 ( n ) } = α 2 , P { X > χ 1 α 2 2 ( n ) } = 1 α 2 χ α 2 2 ( n ) 为的上 α 2 分位点,称 χ 1 α 2 2 ( n ) 为的下 α 2 分位点 X χ 2 ( m ) , Y χ 2 ( n ) 且相互独立,则 X + Y χ 2 ( m + n )
学生 t 分布 T t ( n ) X N ( 0 , 1 ) , Y χ 2 ( n ) 且相互独立 T = X Y / n E ( X ) = 0 D ( X ) = n n 2 ( n > 2 )
P { X > t α ( n ) } = α , t α ( n ) X 的上 ( ) α 分位点 ( 1 ) n X 接近标准正态分布 ( 2 ) 密度函数是偶函数,上下分位点是对称的
F 分布 F F ( m , n ) X χ 2 ( m ) , Y χ 2 ( n ) 且相互独立 F = X / m Y / n E ( X ) = n n 2 ( n > 2 ) D ( X ) = 2 n 2 ( m + n 2 ) m ( n 2 ) 2 ( n 4 ) ( n > 4 )
P { X > F α ( m , n ) } = α , F α ( m , n ) 为上(右) α 分位点 P { X < F 1 a ( m , n ) } = α , F 1 α ( m , n ) 为下 ( ) α 分位点 ( 1 ) F F ( m , n ) , 1 F F ( n , m ) ( 2 ) F a ( m , n ) = 1 F 1 a ( n , m )

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