常见随机变量分布 – 哈冬猪的小站 – 个人学习记录

常见随机变量分布

2024-9-08 22:35

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参考

一维离散型随机变量分布

名称	表示	定义	均值	方差	意义
0-1分布	$X \sim B (1, p)$	$P {X = 1} = p$ $P {X = 0} = 1 - p$	$p$	$p (1 - p)$	一重伯努利实验成功次数
二项分布	$X \sim B (n, p)$	$P {X = k} = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$	$n p$	$n p (1 - p)$	𝑛重伯努利实验成功次数
泊松分布	$X \sim P (λ)$	$P {X = k} = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (λ > 0)$	$λ$	$λ$	单位时间内随机事件发生的次数。 𝜆是单位时间内随机事件的平均发生率。当 $X \sim P (λ_{1}), Y \sim P (λ_{2})$ 且相互独立时 $X + Y \sim P (λ_{1} + λ_{2})$
几何分布	$X \sim G (p)$	$P {X = k} = p (1 - p)^{k - 1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p^{2}}$	无限重伯努利实验第一次成功时的次数
超几何分布	$X \sim H (n, M, N)$	$P {X = m} = \frac{C_{M}^{k} C_{N - M}^{n - k}}{C_{N}^{n}}$ $(0 \leq k \leq n \leq N, k \leq M)$	$\frac{n M}{N}$	$\frac{n M}{N} (1 - \frac{M}{N}) \frac{N - n}{N - 1}$	从𝑁个对象中抽取𝑛个对象，抽出总数为𝑀种类的对象的个数

一维连续型随机变量分布

名称	表示	概率密度函数	分布函数	均值	方差	性质
均匀分布	$X \sim B (1, p)$	$f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a} & , & a < x < b \\ 0 & , & 其他 \end{cases}$	$F (x) = {\begin{cases} 0 & , & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & , & a \leq x < b \end{cases}$	$E (X) = \frac{a + b}{2}$	$D (X) = \frac{{(b - a)}^{2}}{12}$
指数分布	$X \sim E (λ)$	$f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & , & x > 0 \\ 0 & , & x \leq 0 \end{cases}$	$F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{λ x} & , & x \geq 0 \\ 0 & , & x < 0 \end{cases}$	$E (X) = \frac{1}{λ}$	$D (X) = \frac{1}{λ^{2}}$	无记忆性 $P {X > a + b \| X > b} = P {X > a}$
正态分布	$X \sim N (μ, σ^{2})$	$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})$		$E (X) = μ$	$D (X) = σ^{2}$	$a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2})$
正态分布	$X \sim N (1, 0)$	$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$		$E (X) = 0$	$D (X) = 1$	$\frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)$

二维连续型随机变量分布

名称	表示	概率密度函数
二维均匀分布		$f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{A} & , & (x, y) \in D \\ 0 & , & (x, y) \notin D \end{cases}$
二维正态分布	$X \sim N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ_{X Y})$	$f (x, y) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} [{(\frac{x - μ_{1}}{σ_{1}})}^{2} - 2 ρ \frac{(x - μ_{1}) (y - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + {(\frac{y - μ_{2}}{σ_{2}})}^{2}]}$
二维正态分布	$X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}), Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2}), a X + b Y + c 服从正态分布 \Leftrightarrow (X, Y) 服从二维正态分布$

抽样分布

名称	表示	条件	定义	均值	方差
$χ^{2} 分布$	$X \sim χ^{2} (n)$	$X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) 且相互独立$	$X = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}$	$E (X) = n$	$D (X) = 2 n$
$χ^{2} 分布$	$X \sim χ^{2} (n)$	$P {X > χ_{\frac{α}{2}}^{2} (n)} = \frac{α}{2}, P {X > χ_{1 - \frac{α}{2}}^{2} (n)} = 1 - \frac{α}{2}$ $称 χ_{\frac{α}{2}}^{2} (n) 为的上 \frac{α}{2} 分位点,称 χ_{1 - \frac{α}{2}}^{2} (n) 为的下 \frac{α}{2} 分位点$		$X \sim χ^{2} (m), Y \sim χ^{2} (n) 且相互独立,则$ $X + Y \sim χ^{2} (m + n)$
$学生 t 分布$	$T \sim t (n)$	$X \sim N (0, 1), Y \sim χ^{2} (n) 且相互独立$	$T = \frac{X}{\sqrt{Y / n}}$	$E (X) = 0$	$D (X) = \frac{n}{n - 2} (n > 2)$
$学生 t 分布$	$T \sim t (n)$	$P {X > t_{α} (n)} = α, 称 t_{α} (n) 为 X 的上 (右) α 分位点$		$(1) n \to \infty 时 X 接近标准正态分布$ $(2) 密度函数是偶函数，上下分位点是对称的$
$F 分布$	$F \sim F (m, n)$	$X \sim χ^{2} (m), Y \sim χ^{2} (n) 且相互独立$	$F = \frac{X / m}{Y / n}$	$E (X) = \frac{n}{n - 2} (n > 2)$	$D (X) = \frac{2 n^{2} (m + n - 2)}{m (n - 2)^{2} (n - 4)} (n > 4)$
$F 分布$	$F \sim F (m, n)$	$P {X > F_{α} (m, n)} = α, 称 F_{α} (m, n) 为上(右) α 分位点$ $P {X < F_{1 - a} (m, n)} = α, 称 F_{1 - α} (m, n) 为下 (左) α 分位点$		$(1) 若 F \sim F (m, n), 则 \frac{1}{F} \sim F (n, m)$ $(2) F_{a} (m, n) = \frac{1}{F_{1 - a} (n, m)}$

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